|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Logaritmische vergelijking
Hoi wisfaq,
Ik wil graag de symmetrische polynomen
1. som_{n} {(T1^2)T2}
2. som_{n} {(T1^3)T2}
(de sommen gaan allemaal over n, dus in het vervolg laar ik _{n} weg)
uitdrukken in de elementaire symmetrische polynomen, met het k-de elementaire symm polyn s_k gelijk aan
s_k=som_{n} {T1T2...Tn}
Ik gebruik hier het volgende algoritme wat hoort bij de stelling:
Zij P i R=Z[T1,T2,...,Tn] eeen sym polynoom. Dan is P uniek te schrijven als een veelterm in de elementaire symmetrische polynomen s_k.Het algortitme:
a. Zij P de polynoom die je bekijkt.Orden de in P voorkomende monomen lexicografisch, dus monomen
(T1^e1)...(Tn^en) met de hoogste exponent e1 komen voorop.
b. Laat nu c*T1^e1)...(Tn^en) de lexicografisch eerste term in P zijn.
Vorm nu het monoom
s=[s1^(e1-e2)][s2^(e2-e3)]...sn^en
met lexicografisch eerste term (T1^e1)...(Tn^en), en beschouw P1=P-c*s.
Uiteindelijk wordt een plynoom Pi gelijk aan 0.
1.Zij P= som_{n} {(T1^2)T2}
L=(T1^2)T2 is lexicografisch de hoogste term in P
c=1
s=s1s2=som {(T1^2)}+3som {T1T2T3}
P1=P-cs=P-s1s2=-3som {T1T2T3}=-2s3,
dus P=s1s2-3s3.
Is dit correct?
2. P=som {(T1^3)T2}
L=(T1^3)T2
c-1
s=(s1^2)s2=[som {T1^2}+2som {T1T2}]*[som {T1T2}]
=som {T1^2}*som {T1T2}+2(som {T1T2})^2
=(?)[som {(T1^2)T2T3+som {(T1^3)T2]+2[som {(T1^2)(T2^2)}+2som {(T1^2)T2T3}](ik weet niet zeker of deze stap goed is)
=5som {(T1^2)T2T3}+som {(T1^3)T2+2som {(T1^2)(T2^2)}
Dus P1=P-cs=som {(T1^3)T2-s=-5som {(T1^2)T2T3-2som {(T1^2)T2}
L'=-5(T1^2)T2T3
c'=-5
s'=s1s3=som {T1T2T3T4}+som {(T1^2)T2T3}(ik weet niet of ik s1s3 goed berekende heb)
dus P2=P1+5s'=-2som {(T1^2)T2}+5som {T1T2T3T4}
L''=-2(T1^2)T2
c''=-2
s''=s1s2=som {(T1^2)T2}+3som {T1T2T3}
dus P3=P2+2s''=5som {T1T2T3T4}+6som {T1T2T3}
L'''=5T1T2T3T4
c'''=5
s'''=s4=som {T1T2T3T4}
dus P4=P3-5s'''=6som {T1T2T3}
L''''=6T1T2T3
c''''=6
s''''=s3=som {T1T2T3}
dus P5=0 . Dus
P=(s1^2)s3-5s1s3-2s1s2+5s4+6s3
Is dit allemaal correct?
Vriendelijke groeten en dank,Viky
Antwoord
Je notatie is wel een beetje verwarrend.
De sommen die je wil herschrijven hebben binnen de theorie van de symmetrische veeltermen een naam meegekregen, namelijk de monische symmetrische veeltermen.
vb. Jouw eerste som: m[2,1]=åi,j xi2xj waarbij i,j gaan van 1 tot n maar verschillend zijn.
vb. Jouw tweede som: m[3,1]=åi,j xi3xj waarbij i,j gaan van 1 tot n maar verschillend zijn.
De elementaire symmetrische veeltermen worden aangeduid met het symbool "e": ek=åi1 ...ikxi1×...×xik=m[1,1,...,1] (k keer 1)
Je methode is oke.
In het eerste geval krijg je inderdaad dat
m[2,1]=e2×e1-3e3
In je tweede antwoord is er echter wel ergens een fout geslopen. Het antwoord is het volgend:
m[3,1]=e2×e12-2e22-e3×e1+4e4
Je fout zit in de regel waar je niet zo zeker van was:
åxixj×(åxi)2=
= åxixj×(åxk2+2åxkxl)
= åxi3xj+2åxi2xj2+5 åxi2xjxk+2×6åxixjxkxl
Dus: m[3,1]=e2×e12-(2åxi2xj2+5 åxi2xjxk+2×6åxixjxkxl)
De hoogste graadsterm (lexicografisch) is åxi2xj2 met coëfficiënt 2.
Nu kan je åxi2xj2 schrijven in functie van e22 nl:
e22=(åxixj)2
= åxi2xj2+2åxi2xjxk+6åxixjxkxl
Dus is: m[3,1]=e2×e12-2e22-(åxi2xjxk)
Aangezien xi2xjxk=(xixjxk)xi herschrijven we
e3×e1=åxixjxkåxl
= åxi2xjxk + 4åxixjxkxl
Bijgevolg is åxi2xjxk=e3×e1-4e4
zodat: m[3,1]=e2×e12-2e22 -e3×e1+4e4
Hopelijk is het zo duidelijk.
Mvg,
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
